1. А.
2. Б.
3. В.

Петро Маковецький. Дивись в корінь! Збірник цікавих завдань і питань

Людина роздвоєний знизу, а не зверху, -
для того, що дві опори надійніше однієї.

Козьма Прутков. «Думки і афоризми», №95.

А.

Кращі стрибуни на Землі долають висоту 2 м і більше. Як високо вони стрибали б на Місяці, де прискорення вільного падіння в шість разів менше?

Б.

На 12 м, говорите? Ваше оману можна пробачити, якщо врахувати, що навіть деякі книги радять помножити земної рекорд на шість. Набагато менше! І справа не в тому, що на Місяці стрибуна буде обтяжувати скафандр. Спробуйте врахувати, що спортсмен відштовхується від землі в вертикальному положенні, а проходить над планкою - в горизонтальному, тобто бере висоту не стільки силою, скільки хитрістю.

В.

Центр мас спортсмена перёд стрибком знаходиться на висоті близько 1,2 м, в момент проходу над двометрової планкою - на висоті близько * 2,1 м, тобто піднімається всього лише на 0,9 м. Витрачаючи ту ж енергію на Місяці, стрибун підняв би центр мас свого тіла на висоту 0,9 · 6 = 5,4 м і, таким чином, пройшов би на висоті 1,2 + 5, 4 = 6,6 м. Це майже вдвічі нижче, ніж здавалося з першого погляду. Правда, тут не враховано, що безпосередньо перед стрибком спортсмен кілька присідає і, отже, загальний підйом центру мас під час стрибка трохи більше обчисленого. Але як перше наближення ця цифра цілком коректна.

* В принципі, якщо сильно зігнутися, то можна пройти над планкою так, що центр мас весь час буде навіть нижче планки.

У такому вигляді задача була опублікована в першому виданні книги. Як і слід було очікувати, багато читачів не задовольнилися першим наближенням і спробували перевести на мову цифр застереження автора про необхідність враховувати присідання. Відповіді у читачів виявилися несподівано різними, причому найоптимістичніший читач знайшов, що висота стрибка на Місяці буде близько 100 м! Найцікавіше, однак, те, що кожен з цих відповідей був більш-менш обґрунтований, причому більшість з них спиралося на метод, відмінний від наведеного в завданні. Тому має сенс знайти друге наближення спочатку за методом автора, потім по методу читачів і, нарешті, порівняти їх.

Отже, врахуємо глибину присідання (довжину поштовху) Δ спортсмена. На Землі стрибун піднімає свій центр мас з висоти h 0 на висоту h 0 + Δ + h З, на Місяці - на висоту h 0 + Δ + h Л. Припускаючи для простоти рівні витрати енергії, ми отримуємо рівність приростів потенційних енергій в найвищій точці траєкторії стрибка:

mg З (h З + Δ) = mg Л (h Л + Δ),

де g З і g Л - прискорення вільного падіння на Землі і Місяці.

З огляду на, що g З = 6 g Л, і вирішуючи це рівняння щодо h Л, отримуємо підйом центру мас:

додавши до якого початкову (в присіданні) висоту h 0 і довжину поштовху Δ, ми дізнаємося значення місячного рекорду.

Глибина присідання перед стрибком у рекордсменів, за даними Ленінградського інституту фізкультури ім. Лесгафта, коливається близько 35 см (для спортсменів, що мають зріст 180 ... 185 см). Для людей середнього зросту (170 см) вона буде порядку Δ = 0,3 м. Якщо, як і раніше, h З = 0,9 м, то

h Л = 6 · 0,9 + 5 · 0,3 = 6,9 м,

а рекорд

h 0 + Δ + h Л = 0,9 + 0,3 + 6,9 = 8,1 м.

Тепер врахуємо присідання методом, запропонованим читачами. Основна нитка міркувань у багатьох виглядала так. Щоб людина стрибнула, потрібно, щоб його ноги розвинули силу, більшу сили тяжіння тіла. Якщо сила тяжіння на Землі дорівнює P, а спортсмен розвиває силу 1,5 P, то 1 P піде на компенсацію сили тяжіння, а 0,5 P - на надання швидкості тілу. Однак сила тяжіння того ж людини на Місяці дорівнює P / 6, отже, на компенсацію сили тяжіння буде потрібно менше, а на надання швидкості залишиться більше, а саме 1,33 P. Це в 2,67 рази більше 0,5 P. Отже, і швидкість відриву від Місяця буде в 2,67 рази більше. Висота підйому h пов'язана зі швидкістю зльоту v і прискоренням вільного падіння g формулою

h = v 2/2 g.

Написавши цю формулу для Землі і Місяця і розділивши одну на іншу, отримаємо

h Л / h З = (v Л2 / v З2) · (g З / g Л) = 2,672 · 6 ≈ 46.

На Місяці спортсмен стрибне не в 6, а в 46 раз вище, ніж на Землі. На сорок з гаком метрів!

Давайте, однак, від орієнтовних розрахунків перейдемо до точних. Будемо при цьому слідувати методиці читача С.Л. Полонського (Рибінськ), рішення якого виявилося найточнішим з надісланих.

Знайдемо силу ніг стрибуна масою m = 60 кг, що долає на Землі висоту 2 м, тобто піднімає під час польоту центр мас на h З = 0,9 м за рахунок швидкості, придбаної на шляху Δ = 0,3 м. Швидкість його відриву від Землі

v

З = √ [2 g З h З] = √ [2 · 9,8 · 0,9] = 4,2 м / с. (2)

Прискорення в поштовху

З = v З2 / 2Δ = g З h З / Δ = 9,8 · 0,9 / 0,3 = 29,4 м / с2. (3)

Ми помічаємо, що можна було б швидкість і не обчислювати, а просто знайти a З з пропорції

З / g З = h З / Δ, (4)

але знання швидкості нам стане в нагоді. Сила, яка викликала прискорення a З.

З = ma З = 60 · 29,4 = 1700 Н ≈ 180 кгс. (5)

Повну силу ніг P 0 знайдемо, додавши до Q З силу тяжіння стрибуна на Землі (P З = 60 кгс):

0 = P З + Q З = 60 + 180 = 240 кгс. (6)

Тепер можна приступити до розрахунків стрибка на Місяці, виходячи з гіпотези, що сила ніг у людини не зменшилася від перенесення його з Землі на Місяць. Сила поштовху на Місяці, де сила тяжіння стрибуна в шість разів менше (P Л = 10 кгс).

Л = P 0 - P Л = 240 - 10 = 230 кгс ≈ 2240 Н. (7)

Прискорення в поштовху (маса стрибуна як і раніше m = 60 кг)

Л = Q Л / m = 2240/60 = 37,2 м / с2. (8)

Швидкість відриву стрибуна від Місяця

Л = √ [2 a ЛΔ] = √ [2 · 37,2 · 0,3] = 4,72 м / с. (9)

Висота підйому на Місяці

Л = v Л2 / 2 g Л = 4,722 / (2 · 1,63) = 6,9 м. (10)

Результат збігається з тим, що ми отримали за допомогою формули (1). Єдина відмінність полягає в тому, що для розрахунку за першим методом достатньо однієї формули, а по другому їх потрібно близько десятка.

Але, може бути, це випадковий збіг? Або навіть умисел підступного автора, що підібрав так вдало чисельний приклад? Щоб не перевіряти нескінченне число прикладів, збіг варто перевірити в загальному вигляді. Підставте формули (3) - (10) одну в іншу, починаючи, наприклад, з (10):

Виписуючи окремо початок і кінець цієї довгому ланцюгу рівності, отримуємо

h Л = [(g З / g Л) · (Δ + h З)] - Δ = 6 (Δ + h З) - Δ,

що і дає формулу (1).

Тепер у нас є повна впевненість, що обидва методи завжди будуть давати один і той же і обидва вони правильні (або неправильні) одночасно. Відчуває себе спокійніше і автор: дві опори надійніше однієї, це Козьма Прутков зауважив тонко.

Але чому ж орієнтовні розрахунки давали такий екзотичний результат? Тому що там є дві помилки. Перша: сила ніг взята навмання рівної 1,5 P, в той час як вона у бере висоту 2 м виявляється рівною 4 P. Друга: якщо сила в n разів більше, то це не означає, що і швидкість відриву зросте у стільки ж разів. Так було б, якби час на розгинання ніг в обох випадках було однаковим. Але цього немає. В обох випадках однаковий шлях розгинання Δ, а не час (ноги на Місяці мають ту ж довжину, що і на Землі). В результаті більше прискорення діятиме менший час, і швидкість зросте не так вже сильно (порівняйте результати розрахунку за формулами (9) та (2)).

Помилки дуже повчальні. Ноги стрибуна набагато сильніше, ніж це підказує інтуїція. У той же час збільшення швидкості набагато менше, ніж підказує все та ж інтуїція. Аналіз помилок корисний тим, що він дозволяє глибше пізнати істину. Вистраждана істина міцніше і дорожче.

В якості додаткових завдань корисно розглянути, як високо стрибнув би на Місяці коник (в скафандрі, зрозуміло), що бере на Землі паркан висотою 1,5 м. Чи зможе стрибнути на Місяці той, у кого на Землі вистачає сил тільки на підтримку себе в положенні стоячи? Чого досяг би на Місяці стрибун з жердиною?

І, нарешті, чи не знадобиться наступного разу знову доповнювати рішення? Чи всі вже враховано? Ні звичайно. Чи не враховано ще безліч факторів. Головний з них: сила поштовху не постійна, вона змінюється в процесі поштовху, так як при розгинанні ніг змінюються кути між «важелями» і «пружинами», з яких побудована нога. Змінюється вона і чисто фізіологічно: сила м'яза в кожну мить залежить від характеру команд, які підводяться до неї по нерву, управління м'язом йде по складному закону. Крім того, висота стрибка буде залежати від маси скафандра і від умов всередині нього. Але це все проблеми для дисертації. Тут їх не розглянути. Втім, і ми можемо підказати дещо дисертантам. Судячи з формулою (1), висота h Л рекордного стрибка на Місяці залежить від глибини присідання Δ. На Землі вона, зрозуміло, теж залежить від неї, і багаторічний досвід призводить кожного спортсмена до свого оптимального значення Δ. Але чи однакові у даного спортсмена оптимальні значення Δ для Землі і Місяця? Чи можна це розрахувати теоретично, так би мовити, за участю однієї голови? Або це питання надійніше вирішується експериментально, ногами? Чи не це мав на увазі Козьма Прутков, стверджуючи, що дві опори надійніше однієї?

• Завдання 17. Автор винайшов вічний двигун

• Зміст

Дата публікації:

6 жовтня 2002 року